Pour la première tâche le rappel de la construction faite dans le méso-espace pousse les élèves à reporter l'écart. Mais même s'il y a eu des réussites dans le méso-espace, même s'il y a eu un premier bilan et un rappel en début de séance, la construction risque de poser encore des problèmes.

- En retrouvant un micro-espace, les élèves peuvent être tentés d'utiliser davantage le contrôle perceptif simple (droites penchées-pareilles par exemple, à un écart approximativement égal à la longueur du segment). La constance de l'écart est alors vérifiée à vue.

L'écart est encore souvent vérifié ou construit "au début" de la droite, à "la fin" de la droite et "au milieu". Nous retrouvons cette difficulté rémanente pour distinguer le trait physique dessiné au tableau du trait représentation symbolique d'un objet abstrait qui n'est pas limité.

La deuxième tâche est nouvelle par rapport à la séance précédente.

- Dans ce cas, davantage d'élèves commencent dans un premier temps par tracer la droite à vue avec ou sans glissement de la règle :

Le fait que deux écarts suffisent passe par la considération que les rectangles formés ont tous la même largeur.

Il n'est pas évident pour les élèves de faire la distinction entre l'énoncé d'une propriété de deux droites parallèles et un mode de construction. Pour faire énoncer la propriété, on peut redessiner à main levée deux droites parallèles et une droite perpendiculaire à l'une.

Sur la première demi-feuille, on veillera à ce que le segment donné ne soit ni parallèle ni perpendiculaire à la droite et que sa longueur soit supérieure à la largeur du double-décimètre.
Sur la deuxième demi-feuille, on pourra faire varier l'écart (prévoir un double-jeu de transparents).

Le lot des instruments fournis est en principe connu des élèves. Le compas a été enlevé pour interdire la construction (à vue) de la tangente à deux cercles centrés sur la première droite et de rayon l'écart donné.

Les transparents avec le tracé de la parallèle demandée permettent aux élèves et à l'enseignant de vérifier rapidement leurs constructions (les "petites" erreurs seront difficiles à traiter...).

L'écart constant étant la première propriété utilisée par les élèves dans le méso-espace, c'est elle qui est sollicitée dans cette séance sur feuille de papier.
Le maniement de l'équerre étant plus aisé que celui de l'équerre-corde, les élèves devraient arriver plus facilement à une construction.
On posera ensuite la question de savoir combien de reports de cet écart sont nécessaires : les élèves font un constat, peuvent évoquer le rectangle formé avec les droites et deux reports d'écart, mais la justification géométrique n'est pas demandée.

- Phase 1 / collectif / présentation de la tâche
Rappeler la propriété de l'écart constant vue à la séance précédente.
Distribuer la première feuille et donner la tâche aux élèves :

- Phase 2 / individuel / essai(s) de construction
Vérifier que les constructions ne sont pas faites à vue.

- Phase 3 / collectif / synthèse
Aboutir à la construction de la droite parallèle.

Si on reporte deux fois l'écart sur deux droites perpendiculaires à d1, on obtient deux droites parallèles (admis)

- Phase 4 / collectif / présentation de la tâche
Distribuer la deuxième demi-feuille et donner la tâche aux élèves :

- Phase 5 / individuel / essai(s) de construction
Vérifier que les constructions ne sont pas faites à vue.

On trace la perpendiculaire à d1 passant par A. On reporte une deuxième fois l'écart AH sur une autre perpendiculaire à d1. On trace d2. Lorsque deux droites d1 et d2 sont parallèles, toute droite perpendiculaire à d1 est aussi perpendiculaire à d2.

Liste des fichiers liés à cette séance

Matériel nécessaire pour chaque élève :

• 2 (demi-)feuilles blanches aux bords découpés irrégulièrement : l'une avec une droite et un segment, l'autre avec une droite et un point extérieur à cette droite (on peut éventuellement les trouver en annexe)
• règle non graduée
• bandelette de papier (pas de compas)
• équerres et/ou gabarit de droites perpendiculaires sur transparents

Matériel nécessaire pour l'enseignant :

• quelques constructions faites sur transparents pour une vérification par les élèves (cf. éventuellement fichiers annexes)

Objectif général : faire construire deux droites parallèles

Dans cette séance, passer à l'espace de la feuille de papier et faire faire une première construction d'une droite parallèle à une droite donnée avec report de 2 fois un écart constant (l'écart est donné par la longueur d'un segment ou par un point extérieur à la droite).