Dans cette ingénierie, il s'agit de l'isométrie de segments, c'est-à-dire de l'égalité des longueurs de segments.

Les raisons du fait que, dans les séquences proposées, tout emploi de la règle graduée ou de tout autre instrument de mesure ne soit pas permis, sont importantes à donner. En effet, la longueur d'un segment est une grandeur, caractérisée par la possibilité de faire des classifications - on peut mettre dans la même classe des segments qui ont la même longueur – et des sériations des classes - on sait dire si un segment a une longueur plus petite (plus grande) qu'un autre. Sur les plans logique, historique, ontologique, le travail sur les longueurs précède le travail sur les mesures. La mesure n'est pas nécessaire pour comparer deux longueurs et l'isométrie, propriété de deux segments de même longueur, peut être vérifiée sans faire de mesure. Passer par les mesures est plus coûteux puisqu'il faut d'abord mesurer chacune des longueurs (avec emploi d'un instrument et approximation due à cet instrument) puis comparer les mesures.

Situations

Dans l'ingénierie proposée, ne se trouvent que des situations où la mesure ne figure pas. Cela ne veut pas dire, bien sûr, qu'elles ne soient pas à traiter dans une autre partie du cours relative aux mesures.

Reconnaissance de l'isométrie de deux segments et énonciation de la propriété
Dans l'ingénierie on retrouvera ces situations
- dans la séquence Carré (isométrie des côtés du carré, isométrie des demi-diagonales)
- dans la séquence Parallélogramme (isométrie des côtés opposés d'un parallélogramme)
- dans la séquence Symétrie (isométrie de segments symétriques)

Construction de segments de même longueur, de façon isolée ou dans des figures telles que carrés, losanges, cercle
Dans l'ingénierie on retrouvera ces situations
- dans la séquence Carré (construction du carré)
- dans la séquence Parallélogramme (une des constructions)

Recherche du milieu d'un segment
Dans l'ingénierie on retrouvera ces situations
- dans la séquence Losange 2-1 (construction du losange 2-1)
- dans la séquence Parallélogramme (une des constrcutions)

Construction d'un segment x fois plus long, x fois moins long qu'un segment donné ; construction d'un segment dont la longueur est la somme des longueurs de deux segments .
Dans l'ingénierie on retrouvera ces situations
- dans la séquence Losange 2-1 (construction du losange 2-1)

Invariants opératoires

Dans le cas où il n'y a pas mesure, les invariants sont les suivants :

la comparaison "à vue", invariant vite remis en cause (par les faits, par l'enseignant)

la comparaison directe (mettre l'un à côté de l'autre et voir si les extrémités se superposent),
Dans l'ingénierie on retrouve cette comparaison directe pratiquée avec des segments marqués sur des cordes, dans le méso-espace.

la comparaison indirecte avec emploi d'une grandeur intermédiaire
Dans l'ingénierie on retrouve cette comparaison indirecte pratiquée avec un segment marqué sur une corde, avec un segment marqué sur une bandelette de papier, avec un report pratiqué avec un compas à pointes sèches, avec l'inscription des deux segments comme rayons d'un même cercle.

la transitivité des relations d'équivalence et d'ordre
Si le segment AB a la même longueur que le segment CD, et le segment CD la même longueur que le segment EF, alors le segment AB a la même longueur que le segment EF (sans que l'on ait besoin de le vérifier).
Si le segment AB a une longueur supérieure à celle du segment CD, et le segment CD une longueur supérieure à celle du segment EF, alors le segment AB a une longueur supérieure à celle du segment EF (sans que l'on ait besoin de le vérifier).
Si le segment AB a une longueur inférieure à celle du segment CD, et le segment CD une longueur inférieure à celle du segment EF, alors le segment AB a une longueur inférieure à celle du segment EF (sans que l'on ait besoin de le vérifier).
Dans l'ingénierie, on peut solliciter cette transitivité qui évite des manipulations fastidieuses, en particulier dans le méso-espace.

Signifiants

A l'école élémentaire, il n'y a pas d'écriture formelle du type AB=CD.
Dans l'ingénierie est cependant introduite l'écriture "la longueur du segment AB", solution hybride de notation du segment [A,B] 

Dans le registre figural, l'utilisation de symboles identiques sur les segments isométriques est peut-être un peu prématuré en CM1.
Dans l'ingénierie on utilise des codes couleur puis des symboles en CM2.

Les deux concepts d'angle droit et de droites perpendicualires très liés en géométrie euclidienne plane (deux droites perpendiculaires se coupent en formant un angle droit), et reçoivent des définitions très différentes selon les géométries dans lesquelles elles sont abordées.
Par exemple, pour l'angle doit, nous pouvons donner les définitions suivantes :
- angle congruent à un de ses suppléments (Hilbert ed. 1971)
- angle associé à une rotation r définie par r⁴ = id
- angle de deux vecteurs dont le produit scalaire est nul (Dieudonné 1978)

A l'école élémentaire, il n'est pas question de donner une définition de l'angle droit ou de la perpendicularité, mais d'apprendre aux élèves à reconnaître, à nommer, à construire angle droit et droites perpendicualires.

Situations

Les situations trouvent leur origine dans des connaissances spatiales liées à l'espace dans lequel l'enfant se déplace et où la perpendicularité existe.
Dans l'ingénierie, le départ est effectivement une rencontre de notions spatiales dans le méso-espace (sol de la cour de récréation).

Situations donnant sens à "angle droit"
- Reconnaissance dans l'angle fait par deux côtés consécutifs d'un mur, d'une vitre, d'une affiche, etc.
- Reconnaissance et construction dans une figure plane.
- Reconnaissance et fabrication d'un secteur angulaire droit comme moitié d'un angle plat, ou quart d'un angle plein.
- Association à un angle de rotation (un quart de tour défini par r⁴ = id)

Dans l'ingénierie, les trois premiers aspects sont largement étudiés, présentés dans la séquence Carré et revus dans les trois suivantes. Par contre, le quatrième aspect n'est pas du tout abordé (contrairement à ce que l'on faisait en utilisant LOGO).

Situations donnant sens à "droites perpendiculaires"
- Reconnaissance/dénomination, reproduction ou construction de droites perpendiculaires dans le cas très particulier de l'horizontale et de la verticale.
- Mêmes situations dans le cas plus général de directions variées.
Recherche de la plus courte distance d'un point à une droite, de la hauteur d'un triangle.
- Reconnaissance/dénomination, reproduction ou construction de la médiatrice d'un segment, de l'axe de symétrie d'une figure. (On peut dire que deux droites sont perpendiculaires si l'une passe par deux points symétriques par rapport à l'autre).

Dans l'ingénierie, on retrouvera les deux premiers types de situations dans la séquence Carré pour la première fois (recherche et utilisation de gabarits divers dans différents types d'espaces). La recherche de la plus courte distance d'un point à une droite sera abordée dans la séquence Parallélogramme et un peu dans la séquence Symétrie (construction d'une bande à écart constant, distance d'un point à l'axe de symétrie). Par contre le dernier type de situation n'est pas abordé.

En géométrie analytique (vectorielle) deux droites sont dites perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs vaut –1 (le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs vaut 0). La reconnaissance et la détermination d'une perpendiculaire se ramènera alors à du calcul.

Invariants opératoires

Les invariants opératoires sont caractérisés selon le mode de contrôle qu'ils font intervenir.

Reconnaissance à vue, reproduction '"à main levée" des angles droits et des droites perpendiculaires avec le contrôle perceptif simple.
Dans l'ingénierie ce contrôle perceptif simple est à la fois travaillé car utile, mais aussi remis en question, en particulier dans les séances avec le logiciel Cabri.

Utilisation d'un instrument avec le contrôle perceptif instrumenté.
Dans l'ingénierie et dans l'espace ordinaire, il faudra inventer un instrument. Dans l'espace de la feuille de papier, divers pliages ou gabarits seront utilisés et/ou construits ; l'équerre deviendra l'instrument de référence. Sur l'écran de l'ordinateur, on peut se servira de la commande "Droite perpendiculaire" offerte par le logiciel. La construction avec compas ne fait pas partie des invariants de l'école élémentaire et est programmée au collège.

Quelques théorèmes-en-acte apparaissent naturellement dans l'ingénierie :
- le fait que deux droites perpendiculaires construites avec un angle droit déterminent trois autres angles droits
- la symétrie de la relation de perpendicularité
- les deux théorèmes liant perpendicularité et parallélisme (avec comme conséquence que, lorsqu'il y a trois angles droits dans un quadrilatère, le quatrième est aussi un angle droit)

Signifiants

En langue naturelle sont employées les expressions : angle droit, droites perpendiculaires, quart de tour, "les droites se coupent à angle droit", "abaisser une perpendiculaire".
Dans l'ingénierie, un effort particulier est fait pour employer, au delà du lexique "angle droit" et "droites perpendiculaires", le syntagme un peu plus complexe "droite perpendiculaire à telle autre, passant par tel point".

A l'école élémentaire, il n'y a pas d'écriture formelle de la perpendicularité.
Dans l'ingénierie, il n'y en a pas.

Dans le registre figural apparaissent tous les stéréotypes que l'on connaît, tant pour les angles droits que pour les droites perpendiculaires. Le symbolisme consistant à marquer l'angle avec un petit carré est souvent employé dans les manuels, non sans être source de difficultés...
Dans l'ingénierie, les stéréotypes figuraux ont par principe été évités et le symbole a été employé pour marquer le fait que la construction avait été réellement faite avec un instrument.

La définition de la relation de parallélisme n'est pas si évidente que cela.
Selon Hilbert (Hilbert ed. 1971), deux droites coplanaires qui ne se coupent pas (qui n'ont pas de point commun) sont dites parallèles. Selon cette définition, des droites confondues ne sont pas considérées comme parallèles.
On peut aussi dire avec Dieudonné (Dieudonné 1978) que deux droites sont parallèles si elles ont la même direction, la direction étant définie vectoriellement. Dans ce cas, des droites confondues sont considérées comme parallèles.
On peut aussi rappeler la définition bourbakiste (ensembliste) : deux droites sont parallèles si elles sont disjointes ou confondues. La relation de parallélisme est une relation d'équivalence et la classe d'équivalence définit une direction.

A l'école élémentaire il n'est pas question de donner une définition du parallélisme mais d'apprendre aux élèves à reconnaître, à nommer et à construire des droites parallèles.

Situations

Reconnaissance et dénomination de droites parallèles, souvent en contraste/opposition avec des droites perpendiculaires ou non sécantes dans l'espace considéré.
Dans l'ingénierie, le choix a été fait de ne présenter le parallélisme qu'en CM2, soit un an après le travail sur la perpendicularité. La présentation est faite dans la cour de récréation, ce qui pose tout de suite le problème de l'écart constant.

Construction de deux droites parallèles à vue ou avec instruments, cette construction pouvant se faire soit avec deux écarts constants, soit avec une perpendicularité à une même droite.
Dans l'ingénierie, ces constructions sont envisagées dans la séquence Parallélogramme, avec une attention particulière pour le passage de l'une à l'autre.

Reconnaissance/dénomination, construction avec ou sans instruments de segments parallèles dans des quadrilatères particuliers.
Dans l'ingénierie, cette construction n'est utilisée que pour le parallélogramme. Dans les autres quadrilatères, l'utilisation d'autres propriétés est plus facile.

Dans les classes postérieures à l'école élémentaire, les situations de reconnaissance et de construction seront reprises, avec usage de techniques plus variées : droites formant des angles alternes internes égaux avec une sécante, par exemple. Cette notion de parallélisme sera utilisée dans l'étude des quadrilatères et dans les chapitres sur la droite des milieux et la propriété de Thalès en particulier. A noter enfin que des réseaux de droites parallèles équidistantes apparaissent dans les guide-ânes permettant de partager une unité en plusieurs longueurs égales.

Invariants opératoires

Avec le contrôle perceptif simple, les élèves reconnaissent, reproduisent '"à main levée" des droites parallèles.
Dans l'ingénierie ce contrôle perceptif simple est à la fois travaillé car utile, mais aussi remis en question, en particulier dans les séances avec le logiciel Cabri.

Les élèves utilisent le contrôle perceptif instrumenté d'abord de façon incorrecte en faisant glisser une règle sans l'appuyer sur un support fixe. La construction par pliage est peu utilisée dans l'ingénierie. La reconnaissance et la construction d'une droite parallèle à une droite donnée avec des instruments géométriques, constituent des tâches difficiles pour les élèves.

Quelques théorèmes-en-acte fonctionnent :
- le théorème sur l'existence et l'unicité de la parallèle à une droite passant par un point
- la constance de l'écart entre deux droites parallèles
- la symétrie et la transitivité de la relation de parallélisme
- les deux théorèmes liant perpendicularité et parallélisme.

Signifiants

En langue naturelle sont employées les expressions "droites parallèles" mais aussi et improprement, droites "qui ne se rencontrent pas". Le terme de direction ne fait pas partie du vocabulaire employé à l'école primaire.

Dans l'ingénierie, un effort particulier est fait pour faire employer, au-delà du lexique "droites parallèles" le syntagme un peu plus complexe "droite parallèle à telle autre , passant par tel point".

Le symbole formel "//" ne fait pas partie des usages de l'école primaire.
Il n'est pas employé.

Dans le registre figural apparaissent tous les stéréotypes que l'on connaît, qui se constituent souvent en obstacles. Il n'y a pas de symbolisme particulier pour indiquer que deux droites sont parallèles.
Dans l'ingénierie, les stéréotypes figuraux sont par principe évités, mais quelquefois des codes couleur sur les droites parallèles est employé avec les élèves.

A l'école élémentaire, la symétrie n'est abordée que dans la reconnaissane d'axes de symétrie d'une figure et de construction plus ou moins globale d'une figure symétrique d'une figure donnée. Le point de vue de transformation ponctuelle ne sert pas à définir la symétrie (cela est fait au collège).

Il existe de la symétrie une définition en tant qu'isométrie directe involutive ou une définition vectorielle comme involution du groupe orthogonal (Dieudonné 1978). Mais plus classiquement, la définition de la symétrie fait intervenir isométrie et perpendicularité. « D'un point quelconque, abaissons la perpendiculaire à une droite quelconque a et prolongeons-la d'un segment congruent à elle-même, au-delà du pied, en P'. Ce point P' est le symétrique de P ». (Hilbert ed. 1971 p. 60). Ou encore une définition "bourbakiste" (qui suppose donnée la définition de la médiatrice avant) : la symétrie axiale d'axe (D) est l'application du plan dans lui-même qui à tout point M fait correspondre le point M' tel que (D) soit la médiatrice de [MM'].

Situations

Reconnaissance et "construction" d'un (ou plusieurs) axe(s) de symétrie dans une figure monobloc ou faite de plusieurs parties.
L'axe est déjà là et il doit être vérifié ; il est déterminé par un certain nombre de techniques ; ou encore il est anticipé et vérifié. Les variables de ces situations sont la qualité du support (papier ou carton) qui permet ou interdit le pliage, la qualité du support (papier quadrillé, pointé ou uni), la direction de l'axe (vertical, horizontal, oblique), le nombre d'axes de symétrie.
Dans l'ingénierie, des droites qui sont des axes de symétrie et des droites qui ne le sont pas sont proposées comme axes de symétrie de quadrilatères particuliers.

Construction ou complétion d'une figure par symétrie.
La construction d'une figure par symétrie fait apparaître la première comme une entité et sa symétrique comme son reflet (un paysage et son reflet dans l'eau). La complétion d'une figure fait apparaitre la figure comme la moitié d'un tout que l'on complète par symétrie (un demi-papillon et son autre moitié). Deux grands cas sont envisagés à l'école élémentaire : le support est le papier blanc, les techniques utilisées sont le pliage, le papier calque et le miroir ; le support est le papier quadrillé (ou pointé) et l'axe est horizontal, vertical ou suit les diagonales des carreaux. La plupart du temps, la (demi-)figure est d'un même côté de l'axe.
Dans l'ingénierie, les élèves vont beaucoup plus loin puisque apparaît de façon naturelle la construction du symétrique d'un point, et que les explorations faites dans l'environnement logiciel ont très largement enrichi le point de vue des élèves sur la figure symétrique d'une figure donnée.

Invariants opératoires

Reconnaissance ou construction instrumentée d'un axe avec des techniques telles que le pliage, le papier calque, et l'utilisation d'un miroir.
Dans l'ingénierie, outre le pliage, est utilisé dans l'environnement logiciel le fait que la figure est ou n'est pas globalement invariante dans la symétrie par rapport à la droite considérée.

Construction instrumentée d'une figure symétrique d'une figure donnée sur papier quadrillé ou pointé. Les invariants opératoires sont alors un mélange de procédures globales (image d'un segment, d'un cercle, etc.), en particulier pour les segments parallèles à un axe vertical ou horizontal, et de procédures ponctuelles pour des segments non parallèles à l'axe. Il s'agit soit de comptage du nombre de carreaux, soit de repérage de points.
Dans l'ingénierie, un tracé à vue est réalisé sur papier blanc, avec utilisation du contrôle perceptif simple.

Dans les théorèmes-en-acte, domine le fait que la symétrie axiale est un isométrie avec ses conséquences : l'image d'un segment (cercle, quadrilatère) est un segment (cercle, quadrilatère) isométrique, l'image de deux droites perpendiculaires (parallèles) est deux droites perpendiculaires (parallèles). Le deuxième théorème-en-acte, pas toujours acquis, est que la symétrie change tout angle orienté en son opposé avec ses formes affaiblies : plus le point est loin (près) de l'axe, plus son image est elle aussi loin (près) de l'axe.

Signifiants

En langue naturelle le vocabulaire n'est pas encore évolué.
Dans l'ingénierie, un effort est fait pour employer, au delà des mots "symétrique" et "axe de symétrie" le syntagme un peu plus complexe "objet symétrique de tel autre, par rapport à telle droite".

A l'école élémentaire, il n'y a pas d'écriture formelle de la symétrie.
Dans l'ingénierie, il n'y en a pas.

Dans le registre figural, les figures proposées sont d'abord "significatives" et plus ou moins tirées de l'environnement culturel : papillons, fleurs, cartes à jouer, reflets dans l'eau, lettres de l'alphabet, logos de marques automobiles, etc. Dans un second temps, les élèves recherchent les axes de symétrie de polygones réguliers ou non, symétrisent des polygones divers.