MAGESI Lundi 28 novembre 2022
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Thème : A propos du savoir
Etude des relations

Perpendicularité

Les deux concepts d'angle droit et de droites perpendicualires très liés en géométrie euclidienne plane (deux droites perpendiculaires se coupent en formant un angle droit), et reçoivent des définitions très différentes selon les géométries dans lesquelles elles sont abordées.
Par exemple, pour l'angle doit, nous pouvons donner les définitions suivantes :
- angle congruent à un de ses suppléments (Hilbert ed. 1971)
- angle associé à une rotation r définie par r4 = id
- angle de deux vecteurs dont le produit scalaire est nul (Dieudonné 1978)

A l'école élémentaire, il n'est pas question de donner une définition de l'angle droit ou de la perpendicularité, mais d'apprendre aux élèves à reconnaître, à nommer, à construire angle droit et droites perpendicualires.

Situations

Les situations trouvent leur origine dans des connaissances spatiales liées à l'espace dans lequel l'enfant se déplace et où la perpendicularité existe.
Dans l'ingénierie, le départ est effectivement une rencontre de notions spatiales dans le méso-espace (sol de la cour de récréation).

Situations donnant sens à "angle droit"
- Reconnaissance dans l'angle fait par deux côtés consécutifs d'un mur, d'une vitre, d'une affiche, etc.
- Reconnaissance et construction dans une figure plane.
- Reconnaissance et fabrication d'un secteur angulaire droit comme moitié d'un angle plat, ou quart d'un angle plein.
- Association à un angle de rotation (un quart de tour défini par r4 = id)

Dans l'ingénierie, les trois premiers aspects sont largement étudiés, présentés dans la séquence Carré et revus dans les trois suivantes. Par contre, le quatrième aspect n'est pas du tout abordé (contrairement à ce que l'on faisait en utilisant LOGO).

Situations donnant sens à "droites perpendiculaires"
- Reconnaissance/dénomination, reproduction ou construction de droites perpendiculaires dans le cas très particulier de l'horizontale et de la verticale.
- Mêmes situations dans le cas plus général de directions variées.
Recherche de la plus courte distance d'un point à une droite, de la hauteur d'un triangle.
- Reconnaissance/dénomination, reproduction ou construction de la médiatrice d'un segment, de l'axe de symétrie d'une figure. (On peut dire que deux droites sont perpendiculaires si l'une passe par deux points symétriques par rapport à l'autre).

Dans l'ingénierie, on retrouvera les deux premiers types de situations dans la séquence Carré pour la première fois (recherche et utilisation de gabarits divers dans différents types d'espaces). La recherche de la plus courte distance d'un point à une droite sera abordée dans la séquence Parallélogramme et un peu dans la séquence Symétrie (construction d'une bande à écart constant, distance d'un point à l'axe de symétrie). Par contre le dernier type de situation n'est pas abordé.

En géométrie analytique (vectorielle) deux droites sont dites perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs vaut –1 (le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs vaut 0). La reconnaissance et la détermination d'une perpendiculaire se ramènera alors à du calcul.

Invariants opératoires

Les invariants opératoires sont caractérisés selon le mode de contrôle qu'ils font intervenir.

Reconnaissance à vue, reproduction '"à main levée" des angles droits et des droites perpendiculaires avec le contrôle perceptif simple.
Dans l'ingénierie ce contrôle perceptif simple est à la fois travaillé car utile, mais aussi remis en question, en particulier dans les séances avec le logiciel Cabri.

Utilisation d'un instrument avec le contrôle perceptif instrumenté.
Dans l'ingénierie et dans l'espace ordinaire, il faudra inventer un instrument. Dans l'espace de la feuille de papier, divers pliages ou gabarits seront utilisés et/ou construits ; l'équerre deviendra l'instrument de référence. Sur l'écran de l'ordinateur, on peut se servira de la commande "Droite perpendiculaire" offerte par le logiciel. La construction avec compas ne fait pas partie des invariants de l'école élémentaire et est programmée au collège.

Quelques théorèmes-en-acte apparaissent naturellement dans l'ingénierie :
- le fait que deux droites perpendiculaires construites avec un angle droit déterminent trois autres angles droits
- la symétrie de la relation de perpendicularité
- les deux théorèmes liant perpendicularité et parallélisme (avec comme conséquence que, lorsqu'il y a trois angles droits dans un quadrilatère, le quatrième est aussi un angle droit)

Signifiants

En langue naturelle sont employées les expressions : angle droit, droites perpendiculaires, quart de tour, "les droites se coupent à angle droit", "abaisser une perpendiculaire".
Dans l'ingénierie, un effort particulier est fait pour employer, au delà du lexique "angle droit" et "droites perpendiculaires", le syntagme un peu plus complexe "droite perpendiculaire à telle autre, passant par tel point".

A l'école élémentaire, il n'y a pas d'écriture formelle de la perpendicularité.
Dans l'ingénierie, il n'y en a pas.

Dans le registre figural apparaissent tous les stéréotypes que l'on connaît, tant pour les angles droits que pour les droites perpendiculaires. Le symbolisme consistant à marquer l'angle avec un petit carré est souvent employé dans les manuels, non sans être source de difficultés...
Dans l'ingénierie, les stéréotypes figuraux ont par principe été évités et le symbole a été employé pour marquer le fait que la construction avait été réellement faite avec un instrument.