MAGESI Lundi 28 novembre 2022
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Thème : A propos du savoir
Etude des relations

Symétrie

A l'école élémentaire, la symétrie n'est abordée que dans la reconnaissane d'axes de symétrie d'une figure et de construction plus ou moins globale d'une figure symétrique d'une figure donnée. Le point de vue de transformation ponctuelle ne sert pas à définir la symétrie (cela est fait au collège).

Il existe de la symétrie une définition en tant qu'isométrie directe involutive ou une définition vectorielle comme involution du groupe orthogonal (Dieudonné 1978). Mais plus classiquement, la définition de la symétrie fait intervenir isométrie et perpendicularité. « D'un point quelconque, abaissons la perpendiculaire à une droite quelconque a et prolongeons-la d'un segment congruent à elle-même, au-delà du pied, en P'. Ce point P' est le symétrique de P ». (Hilbert ed. 1971 p. 60). Ou encore une définition "bourbakiste" (qui suppose donnée la définition de la médiatrice avant) : la symétrie axiale d'axe (D) est l'application du plan dans lui-même qui à tout point M fait correspondre le point M' tel que (D) soit la médiatrice de [MM'].

Situations

Reconnaissance et "construction" d'un (ou plusieurs) axe(s) de symétrie dans une figure monobloc ou faite de plusieurs parties.
L'axe est déjà là et il doit être vérifié ; il est déterminé par un certain nombre de techniques ; ou encore il est anticipé et vérifié. Les variables de ces situations sont la qualité du support (papier ou carton) qui permet ou interdit le pliage, la qualité du support (papier quadrillé, pointé ou uni), la direction de l'axe (vertical, horizontal, oblique), le nombre d'axes de symétrie.
Dans l'ingénierie, des droites qui sont des axes de symétrie et des droites qui ne le sont pas sont proposées comme axes de symétrie de quadrilatères particuliers.

Construction ou complétion d'une figure par symétrie.
La construction d'une figure par symétrie fait apparaître la première comme une entité et sa symétrique comme son reflet (un paysage et son reflet dans l'eau). La complétion d'une figure fait apparaitre la figure comme la moitié d'un tout que l'on complète par symétrie (un demi-papillon et son autre moitié). Deux grands cas sont envisagés à l'école élémentaire : le support est le papier blanc, les techniques utilisées sont le pliage, le papier calque et le miroir ; le support est le papier quadrillé (ou pointé) et l'axe est horizontal, vertical ou suit les diagonales des carreaux. La plupart du temps, la (demi-)figure est d'un même côté de l'axe.
Dans l'ingénierie, les élèves vont beaucoup plus loin puisque apparaît de façon naturelle la construction du symétrique d'un point, et que les explorations faites dans l'environnement logiciel ont très largement enrichi le point de vue des élèves sur la figure symétrique d'une figure donnée.

Invariants opératoires

Reconnaissance ou construction instrumentée d'un axe avec des techniques telles que le pliage, le papier calque, et l'utilisation d'un miroir.
Dans l'ingénierie, outre le pliage, est utilisé dans l'environnement logiciel le fait que la figure est ou n'est pas globalement invariante dans la symétrie par rapport à la droite considérée.

Construction instrumentée d'une figure symétrique d'une figure donnée sur papier quadrillé ou pointé. Les invariants opératoires sont alors un mélange de procédures globales (image d'un segment, d'un cercle, etc.), en particulier pour les segments parallèles à un axe vertical ou horizontal, et de procédures ponctuelles pour des segments non parallèles à l'axe. Il s'agit soit de comptage du nombre de carreaux, soit de repérage de points.
Dans l'ingénierie, un tracé à vue est réalisé sur papier blanc, avec utilisation du contrôle perceptif simple.

Dans les théorèmes-en-acte, domine le fait que la symétrie axiale est un isométrie avec ses conséquences : l'image d'un segment (cercle, quadrilatère) est un segment (cercle, quadrilatère) isométrique, l'image de deux droites perpendiculaires (parallèles) est deux droites perpendiculaires (parallèles). Le deuxième théorème-en-acte, pas toujours acquis, est que la symétrie change tout angle orienté en son opposé avec ses formes affaiblies : plus le point est loin (près) de l'axe, plus son image est elle aussi loin (près) de l'axe.

Signifiants

En langue naturelle le vocabulaire n'est pas encore évolué.
Dans l'ingénierie, un effort est fait pour employer, au delà des mots "symétrique" et "axe de symétrie" le syntagme un peu plus complexe "objet symétrique de tel autre, par rapport à telle droite".

A l'école élémentaire, il n'y a pas d'écriture formelle de la symétrie.
Dans l'ingénierie, il n'y en a pas.

Dans le registre figural, les figures proposées sont d'abord "significatives" et plus ou moins tirées de l'environnement culturel : papillons, fleurs, cartes à jouer, reflets dans l'eau, lettres de l'alphabet, logos de marques automobiles, etc. Dans un second temps, les élèves recherchent les axes de symétrie de polygones réguliers ou non, symétrisent des polygones divers.