MAGESI Lundi 28 novembre 2022
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Thème : A propos du savoir
Etude des relations

Isométrie

Dans cette ingénierie, il s'agit de l'isométrie de segments, c'est-à-dire de l'égalité des longueurs de segments.

Les raisons du fait que, dans les séquences proposées, tout emploi de la règle graduée ou de tout autre instrument de mesure ne soit pas permis, sont importantes à donner. En effet, la longueur d'un segment est une grandeur, caractérisée par la possibilité de faire des classifications - on peut mettre dans la même classe des segments qui ont la même longueur – et des sériations des classes - on sait dire si un segment a une longueur plus petite (plus grande) qu'un autre. Sur les plans logique, historique, ontologique, le travail sur les longueurs précède le travail sur les mesures. La mesure n'est pas nécessaire pour comparer deux longueurs et l'isométrie, propriété de deux segments de même longueur, peut être vérifiée sans faire de mesure. Passer par les mesures est plus coûteux puisqu'il faut d'abord mesurer chacune des longueurs (avec emploi d'un instrument et approximation due à cet instrument) puis comparer les mesures.

Situations

Dans l'ingénierie proposée, ne se trouvent que des situations où la mesure ne figure pas. Cela ne veut pas dire, bien sûr, qu'elles ne soient pas à traiter dans une autre partie du cours relative aux mesures.

Reconnaissance de l'isométrie de deux segments et énonciation de la propriété
Dans l'ingénierie on retrouvera ces situations
- dans la séquence Carré (isométrie des côtés du carré, isométrie des demi-diagonales)
- dans la séquence Parallélogramme (isométrie des côtés opposés d'un parallélogramme)
- dans la séquence Symétrie (isométrie de segments symétriques)

Construction de segments de même longueur, de façon isolée ou dans des figures telles que carrés, losanges, cercle
Dans l'ingénierie on retrouvera ces situations
- dans la séquence Carré (construction du carré)
- dans la séquence Parallélogramme (une des constructions)

Recherche du milieu d'un segment
Dans l'ingénierie on retrouvera ces situations
- dans la séquence Losange 2-1 (construction du losange 2-1)
- dans la séquence Parallélogramme (une des constrcutions)

Construction d'un segment x fois plus long, x fois moins long qu'un segment donné ; construction d'un segment dont la longueur est la somme des longueurs de deux segments .
Dans l'ingénierie on retrouvera ces situations
- dans la séquence Losange 2-1 (construction du losange 2-1)

Invariants opératoires

Dans le cas où il n'y a pas mesure, les invariants sont les suivants :

la comparaison "à vue", invariant vite remis en cause (par les faits, par l'enseignant)

la comparaison directe (mettre l'un à côté de l'autre et voir si les extrémités se superposent),
Dans l'ingénierie on retrouve cette comparaison directe pratiquée avec des segments marqués sur des cordes, dans le méso-espace.

la comparaison indirecte avec emploi d'une grandeur intermédiaire
Dans l'ingénierie on retrouve cette comparaison indirecte pratiquée avec un segment marqué sur une corde, avec un segment marqué sur une bandelette de papier, avec un report pratiqué avec un compas à pointes sèches, avec l'inscription des deux segments comme rayons d'un même cercle.

la transitivité des relations d'équivalence et d'ordre
Si le segment AB a la même longueur que le segment CD, et le segment CD la même longueur que le segment EF, alors le segment AB a la même longueur que le segment EF (sans que l'on ait besoin de le vérifier).
Si le segment AB a une longueur supérieure à celle du segment CD, et le segment CD une longueur supérieure à celle du segment EF, alors le segment AB a une longueur supérieure à celle du segment EF (sans que l'on ait besoin de le vérifier).
Si le segment AB a une longueur inférieure à celle du segment CD, et le segment CD une longueur inférieure à celle du segment EF, alors le segment AB a une longueur inférieure à celle du segment EF (sans que l'on ait besoin de le vérifier).
Dans l'ingénierie, on peut solliciter cette transitivité qui évite des manipulations fastidieuses, en particulier dans le méso-espace.

Signifiants

En langue naturelle les signifiants relatifs à la longueur d'un segment ne sont pas encore stabilisés à l'école élémentaire et il y a confusion entre longueur et mesure de longueur. La seconde expression n'est pratiquement jamais employée. Pour dire l'isométrie, il y a de même confusion entre "les longueurs sont égales" et "les mesures des longueurs sont égales", la seconde phrase n'étant là non plus pratiquement jamais employée.
Dans l'ingénierie, il est proposé aux élèves de dire "les segments ont la même longueur".

A l'école élémentaire, il n'y a pas d'écriture formelle du type AB=CD.
Dans l'ingénierie est cependant introduite l'écriture "la longueur du segment AB", solution hybride de notation du segment [A,B] 

Dans le registre figural, l'utilisation de symboles identiques sur les segments isométriques est peut-être un peu prématuré en CM1.
Dans l'ingénierie on utilise des codes couleur puis des symboles en CM2.