MAGESI Lundi 28 novembre 2022
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Thème : A propos du savoir
Etude des relations

Parallélisme

La définition de la relation de parallélisme n'est pas si évidente que cela.
Selon Hilbert (Hilbert ed. 1971), deux droites coplanaires qui ne se coupent pas (qui n'ont pas de point commun) sont dites parallèles. Selon cette définition, des droites confondues ne sont pas considérées comme parallèles.
On peut aussi dire avec Dieudonné (Dieudonné 1978) que deux droites sont parallèles si elles ont la même direction, la direction étant définie vectoriellement. Dans ce cas, des droites confondues sont considérées comme parallèles.
On peut aussi rappeler la définition bourbakiste (ensembliste) : deux droites sont parallèles si elles sont disjointes ou confondues. La relation de parallélisme est une relation d'équivalence et la classe d'équivalence définit une direction.

A l'école élémentaire il n'est pas question de donner une définition du parallélisme mais d'apprendre aux élèves à reconnaître, à nommer et à construire des droites parallèles.

Situations

Reconnaissance et dénomination de droites parallèles, souvent en contraste/opposition avec des droites perpendiculaires ou non sécantes dans l'espace considéré.
Dans l'ingénierie, le choix a été fait de ne présenter le parallélisme qu'en CM2, soit un an après le travail sur la perpendicularité. La présentation est faite dans la cour de récréation, ce qui pose tout de suite le problème de l'écart constant.

Construction de deux droites parallèles à vue ou avec instruments, cette construction pouvant se faire soit avec deux écarts constants, soit avec une perpendicularité à une même droite.
Dans l'ingénierie, ces constructions sont envisagées dans la séquence Parallélogramme, avec une attention particulière pour le passage de l'une à l'autre.

Reconnaissance/dénomination, construction avec ou sans instruments de segments parallèles dans des quadrilatères particuliers.
Dans l'ingénierie, cette construction n'est utilisée que pour le parallélogramme. Dans les autres quadrilatères, l'utilisation d'autres propriétés est plus facile.

Dans les classes postérieures à l'école élémentaire, les situations de reconnaissance et de construction seront reprises, avec usage de techniques plus variées : droites formant des angles alternes internes égaux avec une sécante, par exemple. Cette notion de parallélisme sera utilisée dans l'étude des quadrilatères et dans les chapitres sur la droite des milieux et la propriété de Thalès en particulier. A noter enfin que des réseaux de droites parallèles équidistantes apparaissent dans les guide-ânes permettant de partager une unité en plusieurs longueurs égales.

Invariants opératoires

Les invariants opératoires sont caractérisés selon le mode de contrôle qu'ils font intervenir.

Avec le contrôle perceptif simple, les élèves reconnaissent, reproduisent '"à main levée" des droites parallèles.
Dans l'ingénierie ce contrôle perceptif simple est à la fois travaillé car utile, mais aussi remis en question, en particulier dans les séances avec le logiciel Cabri.

Les élèves utilisent le contrôle perceptif instrumenté d'abord de façon incorrecte en faisant glisser une règle sans l'appuyer sur un support fixe. La construction par pliage est peu utilisée dans l'ingénierie. La reconnaissance et la construction d'une droite parallèle à une droite donnée avec des instruments géométriques, constituent des tâches difficiles pour les élèves.

Quelques théorèmes-en-acte fonctionnent :
- le théorème sur l'existence et l'unicité de la parallèle à une droite passant par un point
- la constance de l'écart entre deux droites parallèles
- la symétrie et la transitivité de la relation de parallélisme
- les deux théorèmes liant perpendicularité et parallélisme.

Signifiants

En langue naturelle sont employées les expressions "droites parallèles" mais aussi et improprement, droites "qui ne se rencontrent pas". Le terme de direction ne fait pas partie du vocabulaire employé à l'école primaire.

Dans l'ingénierie, un effort particulier est fait pour faire employer, au-delà du lexique "droites parallèles" le syntagme un peu plus complexe "droite parallèle à telle autre , passant par tel point".

Le symbole formel "//" ne fait pas partie des usages de l'école primaire.
Il n'est pas employé.

Dans le registre figural apparaissent tous les stéréotypes que l'on connaît, qui se constituent souvent en obstacles. Il n'y a pas de symbolisme particulier pour indiquer que deux droites sont parallèles.
Dans l'ingénierie, les stéréotypes figuraux sont par principe évités, mais quelquefois des codes couleur sur les droites parallèles est employé avec les élèves.