Macro-, méso-, micro- espaces

Le macro-espace, de l'espace de la ville à l'espace interstellaire, n'est pas abordé ici. Au-delà du repérage, un travail dans ce type d'espace fait intervenir des notions complexes de géométrie dans l'espace, de représentation et d'échelle, de géographie. Si une approche du repérage et du codage des trajets peut être faite, y compris dans les cycles précédant le cycle 3, une étude de l'isométrie et de la perpendicularité dans ce type d'espace semble prématurée !

On trouve chez Brousseau 1983 une définition du méso-espace : "espace des déplacements du sujet dans un domaine contrôlé par la vue, les objets sont fixes et mesurent entre 0,5 et 50 fois la taille du sujet". Le sujet est à l'intérieur de l'espace. Il prend conscience d'objets isolés par des changements de points de vue, des changements de regards. Des exemples de méso-espace seront pour nous un mur, le sol d'une salle polyvalente ou d'une cour de récréation.

Un micro-espace est défini par Brousseau comme l' "espace des interactions liées à la manipulation des petits objets". L'élève est extérieur à cet espace et peut avoir une vision (relativement) globale des objets. Des exemples de micro-espaces seront, dans cette ingénierie, la feuille de papier ou l'écran d'ordinateur.

Un même espace peut être un méso-espace pour un sujet si sa distance à cet espace est petite et s'il se trouve "dans" cet espace, ou un micro-espace s'il est à une certaine distance de cet espace. Ainsi une feuille de papier A3 peut être soit un méso-espace, soit un micro-espace.

Présentation des objets dans les méso- et micro-espaces

Selon la taille de l'espace, les objets et relations géométriques ont des "matérialités" différentes. Les propriétés spatiales et les propriétés géométriques n'y sont pas perçues immédiatement (sous contrôle perceptif simple) de la même façon.

Dans le méso-espace, les objets et leurs propriétés sont vues
- soit "de face" avec un déplacement du regard, ce qui met en jeu une mémoire visuelle lié au temps de parcours de l'objet et/ou à l'angle de vision de ces objets
- soit avec un recul permettant d'englober le méso-espace en un seul regard, mais alors les propriétés sont malmenées par la perspective à moins que des connaissances culturelles ou autres ne viennent nous renseigner
- soit encore avec plusieurs regards sur des objets dans des plans non frontaux.
Le contrôle perceptif simple y est donc très difficile voire impossible. En particulier, les propriétés métriques ne peuvent être perçues directement.

	Méso-espace	Micro-espace
Point	Objet de dimension "minimale"	Une croix, un trait, une marque
Droite	Savoir quotidien Corde tendue Ligne de visée Plus facile à prolonger ?	Lien avec la règle Vision globale Trait "droit" (non courbe) Trait borné
Segment	Portion de droite que les yeux parcourent d'un point à un autre ou vue sous un angle donné	Trait droit "limité", vu globalement.
Angle	"Lieu" où des droites se coupent	Secteur angulaire
Alignement	Points sur une corde tendue Points sur une même ligne de visée	Points par lesquels on peut faire passer un trait (règle)
Isométrie	Temps estimés identiques pour parcourir les segments Angles de vision estimés identiques	Estimation des longueurs des segments
Perpendicularité	Difficile à lire, sauf pour le cas verticale-horizontale	Vision globale plus facile Stéréotypes
Milieu	Estimation de l'identité du temps de parcours du regard de chacune des extrémités à ce point Estimation de l'identité des angles de vision de chacune des extrémités à ce point	Estimation des longueurs des deux segments déterminés
Cercle	Vision globale d'une courbe fermée de rayon de courbure (à peu près) constant dans un plan frontal. Courbe "régulière" fermée (pas de différence entre ellipse et cercle) dans les autres cas.	Vision globale d'une courbe fermée de rayon de courbure (à peu près) constant.
Figures planes particulières	Propriétés difficiles à lire, déplacement et/ou instrumentation nécessaires Pas de positions stéréotypées (sauf s'il y a présence d'un plan frontal)	Vision des propriétés possible (cf. ci-dessus) Positions stéréotypées
Parallélisme	Difficile à lire (sauf pour le cas de deux verticales)	Vision globale. Distance entre les droites semble constante. Point d'intersection inexistant
Symétrie	Mémoire visuelle difficile à gérer entre le parcours visuel de la première figure et le parcours visuel de la seconde, même dans un plan frontal.	Vision globale et mémorisation plus aisée de chacune des figures. Possibilité de vérifier les symétries de sous-objets de la figure

Un travail de présentation des objets dans le méso-espace, montrant la facilité ou la difficulté à les reconnaître, doit être fait par l'enseignant : à l'heure actuelle les élèves n'ont plus beaucoup de connaissances de ce type. De même, l'association entre la présentation d'un objet dans le méso-espace et sa présentation dans un micro-espace doit être un souci de l'enseignant.

Apports du changement de taille

Un premier apport est celui cité ci-dessus : une meilleure connaissance des objets géométriques dans le méso-espace. Mais on peut aussi espérer une retombée dans le micro-espace de la géométrie papier-crayon.

Dans un espace sensible micro, une problématique pratique (Berthelot et Salin 1994 et 2000) et un contrôle perceptif simple conviennent parfaitement. Un problème de construction posé dans un tel espace peut être réglé à moindre coût avec utilisation de calques, de gabarits, de mesures et validation par un contrôle perceptif simple.
Dans un espace sensible méso, le contrôle perceptif simple donne de moins bons résultats, voire est impossible. Il faut alors trouver ou construire des instruments utilisables dans ce type d'espace, et/ou passer à une modélisation (Berthelot et Salin) dans un micro-espace géométrique (pour minimiser les efforts à fournir dans le méso-espace).

Deux types de situations semblent a priori possibles :

Poser le même problème dans les deux types d'espace.
On peut poser, dans un méso-espace, un problème de construction dont la résolution demande une utilisation de connaissances géométriques car non résoluble avec le seul contrôle perceptif simple ; puis poser le même problème dans un micro-espace en espérant que la résolution sera elle aussi avec modélisation spatio-géométrique (et non pas de façon pratique "seulement").

Par exemple, il est demandé aux élèves de faire un grand carré sur le sol puis de faire un carré sur une feuille de papier (sur l'écran de l'ordinateur), en espérant que le carré ne pouvant être fait et validé à vue dans le méso-espace ne sera plus fait et validé "à vue" dans le mico-espace.

Poser dans un méso-espace un problème dont la résolution demande un transfert dans un micro-espace..
On peut poser un problème dont la résolution directe dans le méso-espace est difficile, et qui demande une modélisation et une résolution dans un micro-espace. Vient ensuite un retour dans le méso-esapce dans lequel il y a validation de la solution.

Il est par exemple demandé aux élèves de faire "une route" (une bande aux bords parallèles) sur le sol, en sachant que ce tracé très difficile peut être travaillé dans un micro-espace avant un retour sur le terrain.

Espaces instrumentés

Le changement d'instruments peut être inhérent au changement de taille de l'espace. Il peut aussi, dans un même espace, découler d'une volonté didactique. Deux phénomènes sont à prendre en compte : d'une part un apprentissage de l'utilisation de ces instruments est un moment important pour les élèves ; d'autre part, selon les instruments fournis, les élèves peuvent être confrontés à des aspects différents des objets et des relations géométriques.

Sur ces deux points on peut citer Rabardel 1995 et 1999 :
"L'appropriation de l'instrument par les utilisateurs résulte d'un processus progressif de genèse expérimentale. L'instrument, pour l'utilisateur, évolue tout au long de ce processus de genèse."
"Ils [de nombreux travaux] mettent en évidence l'impact des instruments sur la conceptualisation et soulignent que l'analyse de leurs propriétés est une nécessité pour l'enseignant s'il veut atteindre ses objectifs didactiques de conceptualisation. "

Il est intéressant aussi de prendre en compte Hoyles et Noss 1996, quand ils disent que le concept abstrait n'émerge pas du concret dans un mouvement ascendant, mais qu'il émerge davantage de connexions faites entre situations où des instruments divers sont utilisés.

Les différents espaces instrumentés dans lesquels les élèves ont à travailler sont les suivants :

Méso-espace du sol avec corde
Ce matériel rudimentaire est complété par un fil à plomb et un niveau à bulle (ou une bassine d'eau, comme témoin de l'horizontalité), et bien sûr des moyens de fixer la corde au sol.

Micro-espace de la feuille de papier avec des ficelles.
Pour faciliter le transfert par rapport à l'espace instrumenté précédent, il n'y a que la taille de l'espace qui change. La feuille de papier est cependant de format A3, avec des bords déchirés.

Micro-espace de la feuille de papier avec une règle et des gabarits divers
Les instruments possibles ont été multipliés d'une part pour le report de longueur (bandelettes de papier, compas), d'autre part pour la construction de droites perpendiculaires (gabarit de droites perpendiculaires sur transparent, secteur angulaire droit, équerre).

Micro-espace de l'écran de l'ordinateur avec des commandes d'un logiciel de géométrie dynamique
En l'occurence ici, il s'agit du logiciel Cabri-géomètre.
Cet espace instrumenté constitue un des milieux possibles pour l'apprentissage de la notion de figure géométrique, (Laborde 1994 et Laborde et Capponi 1994). Le logiciel Cabri-géomètre utilisé dans cette ingénierie n'est pas présenté ici, l'utilisateur pourra consulter le fascicule accompagnant le CD-ROM pour une initiation et Bellemain 1988 pour une présentation. Les commandes utilisées, dont on suppose l'usage connu par le lecteur sont : Point, Segment, Droite, Cercle, Compas, Droite perpendiculaire, Milieu, Droite parallèle, Symétrie axiale (auxquelles sont ajoutées quelques commandes d'édition).

 

Construction selon les espaces instrumentés

Comme le dit Rabardel 1999, un instrument comporte à la fois contraintes et ressources. Il faut analyser le champ des actions possibles et l'activité requise. Les élèves doivent construire des schèmes d'utilisation, ce qui est possible si ces actions sont dans leur zone proximale de développement instrumental en liaison avec leur zone proximale d'apprentissage.

Les tableaux ci-dessous présentent les actions requises selon les espaces instrumentés : le premier concerne les objets et relations de base, le second les objets et relations construits. (Rappel : seules certaines commandes du logiciel Cabri-géomètre ont été données)

	Méso-espace	Micro-espace feuille	Micro-espace écran
Point	Faire une marque sur une corde	Tracer une croix, un trait, une marque	Utiliser la commande "Point" et donner l'argument
Droite	Tendre une corde	Tracer un trait avec une règle	Utiliser la commande "Droite" et donner les 2 arguments
Segment	Marquer 2 points sur une portion de corde tendue	-Tracer un trait à la règle -Marquer 2 points extrémités sur une droite	Utiliser la commande "Segment" et donner les 2 points extrémités
Angle (report)	Réaliser un triangle-corde	-Prendre l'empreinte sur du papier-calque et la reporter -Réaliser un gabarit	Inabordable par les élèves
Isométrie	Comparer directement ou indirectement les 2 portions de corde	-Comparer indirectement avec une bandelette ou un compas	Utiliser la commande "Cercle" ou la commande "Compas" avec les arguments nécessaires (action complexe)
Perpen- dicularité	-Réaliser une verticale (fil à plomb) et une horizontale (surface de l'eau au repos) -Utiliser une équerre-corde	Utiliser des gabarits divers de : droites perpendiculaires angle droit secteur droit	Utiliser la commande "Droite perpendiculaire" et donner les 2 arguments

 

	Méso-espace	Micro-espace feuille	Micro-espace écran
Milieu	Plier la portion de corde en deux et marquer le point de pliure	Reporter sur un segment intermédiaire (bandelette ou fil), plier ce segment en deux, marquer le point de pliure, reporter sur le segment origine	Utiliser la commande "Milieu" et donner l'argument
Cercle	Tracer le trajet de l'extrémité d'un bout de corde tendue, lorsque la première extrémité est fixée	Utiliser le compas	Utiliser la commande "Cercle" ou la commande "Compas" en donnant les 2 (ou 3) arguments
Figures planes particulières	Utiliser des constructions ci-dessus	Utiliser des constructions ci-dessus	Utiliser des commandes ci-dessus
Parallélisme	Construire 2 droites équidistantes	Construire 2 droites perpendiculaires à la même troisième (utilisation d'un des gabarits)	-Utiliser 2 fois la commande "Droite perpendiculaire" et donner les 2 arguments à chaque fois -Utiliser la commande "Droite parallèle" et donner les 2 arguments
Symétrie	Utiliser le report d'angle (d'un triangle) et l'isométrie	-Utiliser la perpendicularité et le report de longueur -Utiliser le report d'angle (gabarit), et l'isométrie	-Utiliser les commandes "Cercle" et "Droite perpendiculaire"avec leurs arguments -Utiliser la commande "Symétrie axiale" et donner les 2 arguments

Ces activités requises ne correspondent pas obligatoirement aux schèmes de construction des élèves. Le changement d'espace instrumenté n'est pas à lui seul garant d'un changement de type de contrôle et d'utilisation des instruments fournis. Le contrôle instrumenté, nécessaire dans le méso-espace, peut être "oublié" par les élèves lorsqu'ils passent au micro-espace de la feuille de papier où le contrôle perceptif simple peut leur suffire. Deux utilisations du contrôle perceptif instrumenté dans le méso-espace et dans la feuille ne sont pas garants de l'utilisation des commandes dans le logiciel. Le contrôle perceptif simple a la vie dure… Donc, même si ces changements d'espaces instrumentés sont des facteurs d'évolution du type de contrôle exercé, l'intervention didactique d'étayage de l'enseignant semble indispensable.

Relation entre changements d'instruments et aspect travaillé des concepts

Les tableaux ci-dessous, forcément un peu condensés, donnent les différents aspects des concepts développés selon les espaces instrumentés, le premier concerne les objets et relations de base, le second les objets et relations construits.

	Méso-espace avec cordes	Micro-espace feuille avec règle et gabarits	Micro-espace écran avec commandes
Point	Elément d'une droite	Trace d'1 pointe de crayon Extrémité d'un segment Milieu d'un segment Intersection de 2 droites	Objet isolé Elément d'une droite Centre d'un cercle Extrémité d'un segment Milieu d'un segment
Droite	Droit = plus court chemin Direction ? Infinie ?	Droit = contraire de courbe Direction Trait limité au support	Une droite est donnée par un point et une direction ou par 2 points Trait limité à l'écran
Segment	Trait Partie d'une droite	Trait Trait limité par 2 points Partie d'une droite	Trait limité par 2 points Partie d'une droite
Angle (report)	Angles de triangles isom.	Secteur angulaire Angle déterminé par 2 demi-droites
Isométrie	Segments superposables (pas de mesure)	Segments superposables Rayons de cercles isométriques (utilisation du compas) ?	Isométrie des rayons d'un cercle
Perpen- dicularité	Verticale-horizontale Angle droit d'un triangle rectangle	Droites perpendiculaires (gabarit transparent) Angle droit d'un triangle rectangle (équerre) Secteur droit (feuille pliée)	Droites perpendiculaires

 

	Méso-espace	Micro-espace feuille	Micro-espace écran
Milieu	Isométrie des 2 segments déterminés	Isométrie des 2 segments déterminés	Vision globale
Cercle	Ensemble de points situés à une distance donnée d'un point donné	Trajet de la pointe d'un compas	Existence d'un centre et d'un rayon Les rayons sont isométriques
Figures planes particulières	Vision analytique des propriétés Pas de stéréotype	Vision globale possible Stéréotypes possibles	Vision globale possible Vision de la classe de dessins associés à une figure Hiérarchie des quadrilatères
Parallélisme	Droites équidistantes	Droites équidistantes Droites perpendiculaires à une même troisième	Droites perpendiculaires à une même troisième
Symétrie	Angles et segments isométriques	Angles et segments isométriques	Symétrique d'un point

Certains aspects des concepts se retrouvent d'un espace à l'autre et il est important que les élèves en prennent conscience : ainsi il est essentiel de montrer que tous les gabarits d'angle droit, construits dans les différents espaces, se correspondent ; ainsi il est essentiel de montrer que le report de longueurs est transférable du méso au micro-espace de la feuille. Certains aspects sont nouveaux et en particulier ceux apportés par le logiciel. Il est important aussi que les élèves, avec l'aide du maître, en prennent conscience. Nous verrons dans les fiches comment ces deux problèmes sont pris en charge.