Types de contrôle:

On peut situer un sujet et donner sa conception relative à un concept en donnant la classe des situations qu'il sait gérer, avec l'ensemble des procédures et des signifiants dont il dispose. A cette trilogie s'ajoute le type de contrôle qu'il exerce (programme au début du paragraphe 5) :
"…passer progressivement d'une géométrie où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par la perception à une géométrie où ils le sont par explicitation de propriétés et recours à des instruments…"

Trois types de contrôle par le sujet semblent possibles en géométrie, les deux premiers seulement l'étant à l'école élémentaire (Rolet 1996)

Le contrôle perceptif simple (cps)

Le cps s'exerce sur des propriétés spatiales et/ou spatio-géométriques du dessin.
Les propriétés spatiales sont des propriétés contingentes dans le cadre de la géométrie envisagée et qui sont des composantes contextuelles du dessin ou de la réalisation matérielle : par exemple en géométrie euclidienne la forme, la position, la taille. Les propriétés spatio-géométriques sont la traduction (lorsque cela est possible) dans le dessin ou la réalisation matérielle, de propriétés géométriques relevant de la géométrie théorique sous-jacente considérée (par exemple : alignement, parallélisme, perpendicularité).

Le cps utilise comme instrument de construction et de validation la vue.

Le cps a pour finalité la production d'un tracé ou d'un dessin "ressemblant".

Pour construire un carré un sujet peut placer "à vue" ses points, ses segments, dans des positions privilégiées, respecter parallélisme et angle droit de façon globale, à "main levée" ou en prenant des directions privilégiées. Pour lire un carré, il peut se contenter d'une estimation visuelle, facilitée si le carré est dans une position classique.

Le contrôle perceptif instrumenté (cpi)

Le cpi s'exerce sur des propriétés spatiales et/ou spatio-géométriques.

Le cpi utilise comme instruments la vue et d'autres instruments qui peuvent être :
des instruments propres aux méso-espaces
- calque, gabarit, papier quadrillé, papier pointé, règle graduée
- règle, équerre
- commandes d'un logiciel de géométrie dynamique.

Il a pour finalité la production d'un tracé ou d'un dessin possédant certaines propriétés.

Les lots d'instruments ci-dessus ne sont pas de même nature : le premier lot est propre à la taille de l'espace de travail et comporte des cordes dans des versions rudimentaires, des instruments optiques sophistiqués dans des professions du bâtiment ; le deuxième lot est peu propice à la mise en valeur de propriétés géométriques ; le troisième lot, bien que fait d'instruments "géométriques", ne semble pas garant d'un contrôle ne portant que sur des propriétés géométriques, une équerre pouvant être utilisée comme un simple gabarit ou une règle graduée permettant de placer un point à une distance donnée (ou calculée) de l'extrémité d'un segment sans savoir qu'il est au milieu du segment.

Le contrôle théorique

Il s'exerce sur des propriétés géométriques.

Il utilise comme instruments les démonstrations ou à tout le moins la cohérence des résultats.

Il a pour finalité la production d'un dessin possédant des propriétés géométriques.

Obstacles:

Obstacles généraux

Les principaux obstacles des élèves ont pour origine une modélisation difficile, un passage difficile du dessin à la figure géométrique. Reprenant partiellement les résultats d'un travail précédent (Rolet 1996), les constatations suivantes peuvent être faites :

Dans les tâches de reconnaissance, les élèves lisent et/ou cherchent dans le dessin
- des propriétés spatiales (les relations, les figures sont reconnues dans leurs instanciations stéréotypées)
- des mesures
- un nombre "minimal" de propriétés géométriques (l'appréhension opératoire des figures est pauvre)

Le dessin n'est pas un représentant possible d'une figure géométrique, d'autres cas de figures ne sont pas envisagés. Le sujet souvent se focalise sur les mesures, ce qui empêche l'émergence d'autres propriétés telles que l'incidence, l'égalité de mesures, des rapports de mesures, etc.)

Dans les tâches de construction, les élèves tracent un dessin "à vue" en faisant fonctionner un contrôle perceptif simple et en prenant en compte des propriétés spatiales non pertinentes (par exemple position à un endroit précis de la feuille) ; ils sont attachés à une "reproduction" (isométrie ou similitude); ils vérifient éventuellement après coup leur construction avec un contrôle perceptif instrumenté.
Ils ont des difficultés à analyser les rapports entre registres figuraux et discursifs (programmes de construction).

Dans les deux types de tâches, on peut dire que le contrôle perceptif simple exercé par les élèves est à la fois pauvre (utilisation difficile de propriétés géométriques) et trop riche (utilisation non pertinente de propriétés contingentes) ; le contrôle perceptif instrumenté est d'une utilisation difficile, ce problème étant lié aux difficultés de compréhension et d'utilisation des instruments fournis.
Sans nier les origines épistémologiques de ces obstacles (on sait l'émergence difficile du concept d'invariant géométrique) on peut également relever de probables origines didactiques à trouver dans l'enseignement reçu et pratiqué par ces sujets : imbrication et/ou écrasement du spatial et du géométrique.

Obstacles propres à l'isométrie

Le contrôle perceptif simple est peu travaillé. Or, on sait qu'il est plus ou moins facile de reconnaître à vue que deux segments sont isométriques.

Le contrôle perceptif instrumenté par la mesure est très précoce. Si à l'école maternelle, il est d'usage de faire travailler les élèves sur les longueurs des segments, les enseignants en viennent très vite à utiliser de façon exclusive les mesures. Ils fontt l'hypothèse que la longueur est bien perçue et passent à la mesure qui permet de travailler dans l'abstrait, et donc par là-même de pratiquer le numérique dont l'apprentissage est alors visé. Les seules alertes données concernent l'aire (Perrin-Glorian 1989). Or chez les élèves de l'Ecole Primaire, chez les Collégiens mais aussi chez des adultes en formation, ce qui est plus surprenant, (Rolet 1996), ce passage par la mesure trop précoce et/ou trop systématique se constitue en obstacle didactique : les sujets sont désemparés dans les situations évoquées ci-dessus et par exemple ne savent plus reporter deux segments de même longueur sans règle graduée. La longueur n'existe plus que dans sa forme mesurée.

 

Obstacles propres à la perpendicularité

De nombreux travaux ont montré que les angles droits (respectivement les droites perpendiculaires) sont d'autant mieux reconnus dans un contrôle perceptif simple que
- les côtés (les droites) sont proches de l'horizontale et de la verticale ou des bords de la feuille
- les traits tracés ou dessinés ont des longueurs proches
- l'angle droit (les droites) est (sont) isolé(s)

De même une longue pratique de formateur et de fréquentes analyses de procédures d'élèves montrent que le contrôle perceptif instrumenté est assez souvent utilisé pour vérifier une perpendicularité et rarement pour la construire.

Obstacles propres au parallélisme

De nombreux travaux ont montré que le parallélisme de deux droites est d'autant mieux reconnu dans un contrôle perceptif simple que
- les droites sont proches de l'horizontale ou de la verticale
- les traits tracés ou dessinés sont proches, ont des longueurs proches
- les droites sont isolées

On sait également qu'en liaison avec une distinction non faite entre droite, segment et trait représentatif dessiné, les élèves confondent des "traits" non sécants avec des droites parallèles, surtout lorsque l'intersection des droites supports est hors de la feuille de papier.

De même une longue pratique de formateur et de fréquentes analyses de procédures d'élèves montrent que le contrôle perceptif instrumenté par glissement simple est assez souvent utilisé pour vérifier un parallélisme, que la construction correcte (difficile, redisons-le) est rarement faite. La construction libre de deux droites parallèles s'arrête souvent au tracé des deux bords d'un double-décimètre un peu large....

Obstacles propres à la symétrie

Les obstacles des élèves à l'entrée en 6^ème ont été particulièrement étudiés par Grenier (Grenier 1988). Les élèves considèrent souvent une droite qui partage la figure en deux moitiés de même aire comme un axe de symétrie : les diagonales d'un parallélogramme sont souvent considérées comme des axes de symétrie.
Dans la reconnaissance de figures symétriques, la seule propriété prise en compte est l'isométrie et il y a alors confusion entre la symétrie et les autres isométries (translation, symétrie centrale, symétrie suivie de translation, etc.)
Selon Grenier, « L'influence sur les procédures des élèves des trois variables, direction du segment dans la feuille, intersection de la figure avec l'axe, angle aigu entre le segment et l'axe, révèle que la résolution du problème s'appuie sur une approche perceptive globale de la figure dans la feuille ».

Les procédures erronées le plus souvent rencontrées sont :
- le rappel horizontal lorsque l'axe est oblique
- le prolongement quand l'angle est grand
- la transformation d'un segment vertical en un segment vertical
- la pratique de 2 demi-symétries lorsque le segment coupe l'axe
- le comptage et des rappels horizontal et vertical lorsque le papier est quadrillé ou pointé.

De plus, la découverte d'un axe de symétrie (ou de deux axes perpendiculaires) bloque souvent la découverte des autres : dans le carré par exemple, les élèves voient soit les deux diagonales, soit les deux "médianes".